1 引言
现代雷达系统往往工作在高带宽下,奈奎斯特采样理论要求极高的采样率和处理速度,这给实时信号处理在传输、计算和存储方面带来了挑战。由于许多雷达应用中普遍存在固有的稀疏性,因此将压缩感知(Compress sensing,CS)采样运用在雷达系统中是一个研究的热门话题[1],利用CS可以在保留雷达回波信号大部分信息的同时,减轻信号采集和处理的压力[2]。
CS雷达在信号恢复、图像处理和参数估计方面[3- 4],需要对原始信号进行不同程度的重构。文献[5]使用压缩采样匹配追踪和子空间追踪的思想,构造了一种新颖的基于贝叶斯贪婪算法,可以从少量测量中恢复稀疏信号。然而,包含迭代过程的恢复算法会导致时间消耗大、计算复杂度高、处理速度慢等问题[6],而CS雷达运用在目标检测、估计和分类等情况时,可以直接在稀疏域中对信号进行检测、估计等操作,因此在某些领域中对信号进行精确的重构是不必要的[7]。其次,CS雷达采样虽然可以减轻信号的处理压力,但是在稀疏域中进行目标检测时,由于采样数较小,信号的信噪比会对检测性能有明显影响。文献[8]研究了在低信噪比(Signal noise ratio,SNR)值下,使用能量检测单用户抗噪声的性能,得出能量检测的性能取决于噪声的不确定性;文献[9]使用目标和杂波的先验信息,分别用于优化发射波形和匹配滤波器,保证CS雷达较高的检测性能。
上述文献在一定程度上以提高目标信号的信噪比来提升系统的检测性能,但是存在一定的局限性,因为目前雷达系统的大部分研究,都是在相对友好的环境中进行的。但是,在复杂多散射环境中,“低、小、慢”的目标可观测性较低,影响雷达探测性能,因此在复杂环境中雷达探测性能的稳定性是一个值得研究方向。在实际环境中,室内环境或低角度目标检测存在大量的多径[10],多径传播会引起信号失真,对目标信号的检测带来负面影响,影响系统检测的性能。因此,除了考虑减少多径环境所带来的影响,可以找到一种利用多径环境的方法来提升雷达在复杂环境中的检测性能。
时间反演理论[11](Time reversal,TR)最初起源于物理学,近年来研究发现,也可以同样适用于电磁波领域中[12]。TR技术具有对环境的自适应时空聚焦特性[13],有效地实现了抗信号散射衰减和多径干扰,显著增强了对弱目标的检测能力。因此,TR检测方法已成为检测弱目标的关键技术,具有重要的学术价值。文献[14]将时间反演与雷达结合,提出TR-CS-MUSIC算法提升接收信号到达方向的估计精度;文献[15]在雷达系统的背景下,提出结合时间反演技术的隐身目标探测方法。文献[16]已将时间反演运用到水下声源的检测中,实验证明时间反演不仅可以减少多径效应带来的影响,同时聚焦信号携带的能量。
上述文献的实验已经证明时间反演在雷达系统中有较好的实用性。因此,基于上述学者的研究,本文提出一种联合时间反演与压缩感知的目标信号检测方案,主要工作如下:
(1)本文加入时间反演技术,使目标信号能量聚焦,推导了时间反演处理的具体过程,并分析了时间反演处理后信号的分布特性。
(2)设计一个新的随机高斯测量矩阵对信号进行采样,并证明了压缩后的被测信号和压缩后的高斯白噪声的分布均服从高斯分布。
(3)基于Nyman-Pearson标准,提出一种基于两个高斯分布方差的检测器设计方法,该方法通过似然比函数与判决门限来评判目标信号的检测性能。
2 系统与信号模型
假设在一个静止的环境中,如室内环境中,目标用图1中小车表示,且目标无法主动发出信号,目标发生运动时会对静止环境的状态产生变化,用两个环境背景相减,可以表示出目标运动所产生的信息[17],也是本文要检测的感兴趣信号。
图1 系统模型图
Fig.1 System model diagram
用s(t)表示探测信号,假设目标出现相对于收发天线以恒定的速度运动v=(|v|cos θ,|v|sin θ)。每条路径产生不同的多普勒因子,且每条路径信号会以不同的角度到达接收天线,用ul=(cos φl,sin φl)表示到达角,假设到达角服从均匀分布,
(1)
并且可以表示出多普勒因子为βl,
(2)
其中,〈·,·〉表示向量的内积,c为电磁波传播速度。
探测信号经过目标的信道冲击响应可记为:
(3)
其中L表示可识别多径条数;αl、τl分别表示发送天线到接收天线的第l条路径的幅度与时延。
探测信号经过目标后,接收天线接收到的信号r(t)可以表示为:
(4)
其中,v(t)表示白噪声,e-jwcβl(t-τl)为目标运动对接收信号产生的相位变化。上式展开为:
(5)
3 基于TR的检测系统
该文提出的系统流程图如图2所示,首先建立二元假设模型,目标信号经过时间反演处理后,推导目标信号的分布特性;在压缩检测时,设计一个随机高斯测量矩阵将离散后信号投放在稀疏域中,然后进一步对目标信号的分布进行推导;最后基于Nyman-Pearson准则,利用推导出的目标信号的分布信息,计算出检测门限进行判决。具体分析步骤在下文给出。
图2 系统流程图
Fig.2 System flow chart
3.1 检测模型
传统的雷达目标检测问题的模型建立,本文选择经典的二元假设模型:
(6)
H0表示目标未出现的假设,H1表示目标出现的假设。传统的目标检测将对上式的分布情况进行分析,然后再进行门限判决,得到检测概率Pd。本文加入TR技术可以使目标信号的能量聚焦,使其有更好的检测性能,加入TR技术后,二元假设模型重写如下:
(7)
其中w(t)表示发送端接收到的噪声。
本文加入TR技术对目标信号进行处理,因此需要重新对目标信号的分布进行推导,其时间反演技术处理的具体过程和目标信号分布推导过程如下a和b所示:
a.时间反演
对比公式(6)与公式(7)可以看出,时间反演处理指的是将公式(6)中接收到的信号r(t)进行时间取反,能量归一化。得到的信号表示为kr*(-t),k为能量归一化因子,再将信号回传到发送端。假设目标移动缓慢,往返信道具有互易性。所以发送端接收到的信号可以表示为,
(8)
将公式(8)中的kr*(-t)展开得到,
e-jwcβl′(-t+τl′-τl)e-jwcβl(t-τl)+w(t)= 
e-jwcβl′(-t+τl′-τl)e-jwcβl(t-τl)+w(t)
(9)
公式(9)中等号右边的第一项是指信号沿着相同的路径返回,如接收端接收的第一条多径信号沿着与发送时相同路径返回,即信号通过原来的路径返回,表示每条路径的自相关函数的总和;第二项是指信号沿着不同路径返回,如接收端接收的第一条多径信号沿着与发送时不同的路径返回,表示为往返不同路径的互相关函数的总和,此部分因为往返路径不同,不相关的多径卷积和将彼此削弱,使得第二部分值会很小。因此取第一项用作主要的到达信号,上式可以近似写为,
(10)
为了便于后文分析,将上述简写成如下形式,
y(t)=(s(-t)*h(-t))*h(t)+w(t)= z(t)+w(t)
(11)
b.信号分布推导
为了方便信号分布推导,考虑理想环境下做出以下合理假设,1、路径增益因子αl是服从均值为0,方差为
复高斯分布。2、w(t)方差为
信号s(t)的能量ES为一个定值
并且在考虑近似问题时,忽略能量归一化因子k带来的影响[17]。
当多径足够大时,由中心极限定理可得,
可以近似服从正态分布,所以,
(12)
可以得到,
ul=E{‖αl‖2e-jwcβlτl}=0
(13)
Υl=D{‖αl‖2e-jwcβlτl}=D{‖αl‖2}
(14)
显然,‖αl‖2是服从
分布,其中
表示自由度为2的卡方分布,所以方差可以算出为
所以
可以推出,
(15)
3.2 压缩检测
在进行压缩检测中,目标信号经过TR处理后,需要进行离散化表示,N表示为采样频率为fs的采样次数。经典二元假设检验的模型离散化后,如下表示,
(16)
在大量的采样数N下,数据是冗余的,并且获得信号的非压缩测量是困难的。基于CS理论,压缩检测问题可以重新定义为[18],
(17)
Φ1∈RM×N(M≪N)为一个随机高斯测量矩阵,且Φ1～N(0,IM)。
该文采用的LFM信号具有稀疏性,所以接收到的信号可视为稀疏的,可以在稀疏域中表示为,
z=Ψα
(18)
其中,z∈RN×1表示为稀疏信号,Ψ∈RN×N是一个单位字典基矩阵,当信号z在Ψ中投影时,可以得到稀疏向量,
α=ΨHz
(19)
a∈RN×1包含了K(K≪N)个非零稀疏向量,上式表示信号的能量分布在K个非零的元素点,并且每个元素的值为常数。
基于公式(18)和公式(19)设计一个新的随机高斯测量矩阵Φ,该矩阵因其具有随机性,可以降低噪声带来的影响。
(20)
因此公式(17)改写成,
(21)
在Nyman-Pearson标准[19]中,根据似然比检验将统计量与判决门限进行比较,根据比较结果可以确定是否有目标。似然比检验可以表示为,
(22)
其中,p(y|H0)表示在H0假设下信号的概率密度函数,p(y|H1)表示在H1假设下信号的概率密度函数。η为判决门限,其大小与虚警概率PFA有关。通过公式(21)给出的信号模型,接收信号的概率密度函数表示为,
(23)
(24)
上式T表示转置运算,IM代表M阶单位矩阵,且
可以推出,似然比函数为,
(25)
去除无关项得,
(26)
上式化简的,
(27)
由此,可以推导出,
(28)
其中
表示自由度为2M的卡方分布。
虚警概率可表示为,
(29)
根据虚警概率,推出判决门限η为,
(30)
表示卡方分布的反累积分布函数。检测概率由如下公式给出,
(31)
4 仿真分析
用MATLAB本文系统的检测概率进行仿真。发送端发送的探测信号是线性调频信号,以此满足压缩检测的稀疏性,探测信号表达式如下,
s(t)=A*exp(1j*2π+0.5kt2)
(32)
其中A表示信号的幅度, f=2000 Hz,k=105(Hz/s)。探测信号s(t)的能量用
在仿真部分,信噪比定义为
单位为dB。系统无线传输信道的设置为均值E=0,方差
能量归一化因子设置为k=1,即忽略能量归一化因子的影响。进行了在不同的采样点、不同的虚警概率、不同的多径的数量、不同的方法的检测性能,具体内容如下文所示。
图3表示在虚警概率PFA=10-3,N=1500,多径数L=8,信噪比SNR=[18, 19, 20]下,对比了抽取匹配滤波器(Decimated matched filter,DMF)与TR-DMF的检测性能与采样次数的关系,两种方法检测概率都随着采样次数M的增多而提升;在同一采样稀疏下,信噪比的提升,对感兴趣信号的检测性能有提升;加入TR后,对目标信号能量进行聚焦,对比DMF的性能有较好的提升。在SNR=18时,TR-DMF和DMF在达到同一检测概率时,采样次数M有明显减少。
图3 检测概率随采样次数的变化
Fig.3 Change of detection probability with sampling times
图4表示在虚警概率PFA=10-3,N=1000,稀疏系数M/N=0.2下,对比了不同多径的数量L=[8,12,18]下的检测性能,从图4可以看出,在固定同一信噪比下,系统的多径的数量增加,检测概率更高。在多径的数量相同时,使用了TR技术的检测性能更好。
图4 不同的多径的数量对检测概率的变化
Fig.4 Change of detection probability with different number of multipath
图5表示在N=1000,多径的数量L=8,信噪比SNR=16下,对比不同方法的检测性能随虚假概率的变化,由公式(29)和公式(30)可以看出,判决门限是由虚警概率推出。在同一稀疏比M/N=0.05下,TR-DMF优于DMF和文献[20]中的方法。匹配滤波器(Matched filter,MF)在同一判决门限下,其性能是最好的,但是MF的稀疏比为M/N=1,需要有大量的采样次数,TR-DMF在稀疏比M/N=0.1时的检测性能接近MF的方法,但减少了系统采样数和计算量。
图5 虚警概率对不同检测方法的影响
Fig.5 The influence of false alarm probability on different detectors
图6表示在虚警概率PFA=10-3、多径数L=4时,对比了不同方法的检测性能与信噪比关系。在信噪比SNR=17 dB时,本文提出的方法在稀疏比M/N=0.5下的性能与MF相似,但是本文方法减少了计算量;在同样的稀疏比和信噪比下,TR-DMF和DMF与文献[20]相比,因其采用的压缩矩阵具有良好的抗噪声性能,所以检测性能优于文献[20];TR技术对目标信号进行能量聚焦,因此在同一信噪比下,TR-DMF比DMF有较好的性能提升。
图6 不同检测方法的性能对比
Fig.6 Performance comparison of different detectors
5 结论
本文针对如何提高CS雷达对目标信号检测性能的问题,提出一种基于时间反演的目标信号稀疏检测方案,本方案联合时间反演技术与压缩感知理论对目标信号进行检测,构建了TR-CS检测系统模型,并对该模型下的目标信号检测进行详细推导与分析。仿真结果表明,运用时间反演技术的时空聚焦技术,增强了目标信号的能量,提升系统的检测性能,同时结合压缩感知技术,无需重构信号,直接在稀疏域中对目标信号进行检测,降低接收端的空间与时间的使用。本文进一步的研究可以考虑如何在检测到目标后,对其进行跟踪定位。
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