1 引言
非高斯噪声广泛存在于地震勘探、水声信号处理、生物医学工程等领域,其中α稳态分布能够非常好地与实际数据吻合[1] 。在对称α稳态噪声下的二元信号最优检测方法是似然比检测方法,需要计算对称α稳态分布的概率密度函数(probability density function,PDF),而α稳态PDF计算量很大,所以似然比检测方法在实际应用场景中难以实现。常用的次优检测方法有软限幅检测器(soft limiter detector),Myriad检测器,柯西检测器和局部最优预处理[2]。在某些特定的场景下,添加适量噪声反而能够提高非线性处理增益,如信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)、检测概率,当添加的噪声较大时降低性能,这种现象被称为随机共振(Stochastic resonance,SR)。随机共振作为一种以信号和噪声共同驱动的非线性信号处理方法,在次优化条件下具有低功耗、简单高效的特点,具有很好的研究前景,关于随机共振在统计信号处理领域的研究综述可以参考文献[3]。
对于对称α稳态噪声下的信号检测问题,局部最优检测器具有易实现的相关器结构,但由于α稳态PDF没有解析闭式,只能通过数值求解,从而导致局部最优处理函数计算量巨大。此外,在理论上对低SNR下的信号检测性能逼近最优,在高SNR下的信号检测性能无法保证逼近最优性能。很多学者提出近似非线性处理来逼近最大似然检测器[2,8],实现复杂度低于局部最优检测器,但依然需要估计信号与噪声的参数。文献[9-10]使用高斯分布和柯西分布的混合PDF来逼近α稳态PDF,从而获得最大似然检测器的解析表达式。文献[13-14]设计了基于分数低阶矩的次优检测器。文献[15]提出一种低复杂度适用于强脉冲噪声的对数检测器,性能优于柯西检测器。
现有随机共振应用于信号处理比较有代表性的工作是:N.G.Stocks提出的超阈值随机共振[4]、F.Chapeau-Blondeau等基于阈值的并列阵列模型[5- 6]、S.Kay和H.Chen的Neyman-Pearson准则下随机共振性能分析等[7]。这些工作说明:非线性条件下,适量噪声可以达到信号与噪声“共振”的效果,从而增强信息传输。在非高斯噪声条件下,尤其是在对称α稳态噪声条件下,最优的非线性系统计算量大,设计复杂,不易实时实现。而基于次优化系统的随机共振方法计算效率高,设计简单,可以逼近最优性能,具有很好的应用前景。基于阈值的二值量化并列阵列能够提高信道的互信息量和输出信噪比,A.Patel和B.Kosko将超阈值阵列应用到信号检测,并指出阵列处理方法等价于一类非线性处理,当加入阵列的噪声为均匀分布噪声时使得性能测度(如平均错误概率,检测概率)的初始SR增益最明显,并且由均匀分布噪声导出的非线性变换函数等价于归一化的软限幅处理函数[11]。
现有文献基于量化阵列的等价非线性处理是基于广义高斯噪声(即拉普拉斯噪声,高斯噪声,均匀噪声)导出的非线性变换[11-12],没有建立更一般化的优化模型。本文在量化阵列的框架下,建立了更一般的信号检测模型和最优非线性处理问题模型。同时,本文还建立了不受量化阵列约束的一般非线性处理函数的泛函优化模型,并将小信号近似模型下的局部最优处理函数纳入该模型中。本文将泛函优化问题建模成凸优化问题,同时提出了一种能逼近最优性能的软限幅检测器的自适应门限方法,相比现有的方法,仅需要估计噪声参数α。
2 系统模型
考虑确定信号的检测问题,信号波形sk和幅度a均已知,信道噪声Vk是独立同分布零均值的对称SαS噪声,概率密度函数(probability density function,PDF)为f(x)。双择检验问题的两个假设为
(1)
其中K是接收信号序列长度,Xk是接收信号的第k个样本。对称SαS噪声可以用特征函数φ(w)=exp(-σα|w|α)来描述,其中σ称为尺度系数,它是关于样本相对于均值的分散程度的度量,α(0<α≤2)称为特征指数,它决定该分布脉冲特性的程度。α越小,所对应分布的拖尾越厚,α=2对应的分布为高斯分布,α=1对应的分布为柯西分布,其他的α对应的噪声概率密度函数没有解析表达式。f(x)可以通过特征函数法来数值计算
(2)
若为了标记f(x)中的参数α,σ, f(x)可以写成fα,σ(x)。
在二元通信系统中,出现H0和H1的先验概率是相同的,采用平均错误概率最小准则,最大似然(Maximum-Likelihood,ML)检测器可写为
(3)
其中判决符号
表示若≥成立,则判为H1假设;若<成立,则判为H0假设。
当α≠1,2时,最优的ML检测器没有解析表达式。当α=2时,SαS噪声是高斯噪声,最大似然(Maximum-Likelihood,ML)检测器就是相关检测器,容易实现。当α<2时,SαS噪声是非高斯噪声,此时ML检测器不具有相关器的结构。当背景噪声是非高斯噪声时,可以通过非线性预处理方法,将非高斯信号近似高斯信号,再采用高斯信号下的最优检测方法,即相关检测,或称为匹配滤波。
量化阵列检测系统包含两个部分,相关器之前的量化阵列预处理系统和相关之后的似然比检验。量化阵列处理框图如图1所示。
图1 量化阵列预处理系统框图
Fig.1 Diagram of quantizer-array preprocessing system
量化阵列预处理系统将每个样本Xk并行地送入Q个量化器中,每个量化器加入独立同分布的噪声,且输出为±1,再将每个量化器的输出求和取平均代替接收信号。信号经过量化阵列处理后,做相关运算再进行判决。非线性相关器的结构如下:
(4)
其中
是量化阵列的处理函数,θ是量化器阈值,sgn(Xk+Nq-θ)=±1,q=1,…,Q,Nq是独立同分布有限方差的对称噪声。当Q→
时,极限条件下,
是Nq的累积分布函数,非线性相关器的结构如下:
(5)
定义μi(σN)和
分别是Λ(X)在假设Hi(i=0,1)下的均值和方差,σN是加入量化阵列的噪声Nq的标准差,计算可得Λ(X|H1)和-Λ(X|H0)都服从同一正态分布
平均错误概率表达式为
(6)
其中
表示标准正态分布的右尾概率。优化问题是选择所有可能的对称且有限方差的量化噪声及其标准差σN,最小化Pe(σN)等价最大化μ1(σN)/σ1(σN),又μ1(σN)>0,等价于最大化
即
(7)
当待检测的信号幅度足够小,由一阶泰勒展开, f(x-ask)≈f(x)-askf ′(x),代入式(7)化简得
(8)
当待检测信号是常数电平时,将sk=1代入式(8)化简得
(9)
3 算法分析
3.1 优化方法
引入记号
表示所有满足2FN(x)-1的函数集合。明显地,对于
是值域为[-1,1]的单调递增奇函数。进一步,作为对比,我们考虑没有2FN(x)-1约束的函数簇
函数簇
是所有奇函数的集合。最小化Pe(σN)的等价问题为
(10)
因为有约束
这使得优化问题(10)没有解析解。
若不考虑
的条件,可以通过拉格朗日乘数法计算得到
(11)
其中μk=
y(x)qk(x)dx,λ是拉格朗日乘子,此时得到y(x)满足
但是很难计算出μk和λ的值。优化问题(10)在约束下的最优解记为
在约束
下的最优解记为
特别地,当sk=1时,计算出y(x)=[f(a-x)+f(a+x)]/[f(a-x)-f(a+x)],即常数模型下的最优处理函数;当a→0时,最优解y(x)=-f ′(x)/f(x)∈S,与小信号近似模型的局部最优函数一致。
考虑的约束,无法求出解析解,只能用数值方法求解。用有限区间[0,L]逼近区间(0,+),通常取L=10～50。用yi,pki,qki表示y(x),pk(x),qk(x)在xi=i/M,i=1,2,…,LM上的值,其中1/M是离散化步长,M通常取5～100。引入矩阵和向量记号,
约束条件等价写为y>0并且y单调递增趋向于1且增量递减的约束,0≤y1≤y2≤…≤yLM≤1,yi+1-yi≥yi+2-yi+1。单调递增的约束可以写成矩阵形式
增量递减的约束可以写成矩阵形式
记C=[AT,BT]T。原泛函优化问题建模为凸优化问题
Cy≤0
(12)
可以证明优化问题(12)是凸问题。如果考虑在公式(12)中去掉不等式约束Cy≤0,此时等价于在约束
下泛函优化问题(10)对应的离散凸优化问题。
定理
的Hessian矩阵
是正定矩阵。
证明 证明Hk是正定矩阵,只需要证明Hk的特征值全大于0。注意到MPk=diag(Mpk,1,…,Mpk,LM),则存在可逆矩阵
使得MPk合同于单位矩阵E,使得
则有
注意到Dkqk(Dkqk)T是秩1的实对称矩阵,非零特征值为(Dkqk)TDkqk,故存在正交矩阵Q,使得Q(E-Dkqk(Dkqk)T)QT=diag(1-(Dkqk)TDkqk,1,…,1)。由于矩阵的合同变换不改变特征值的正负号,相似变换不改变特征值,故Hk是正定矩阵等价于(Dkqk)TDkqk<1,即
下证
注意到|qk(x)|=|f(ask-x)-f(ask+x)|<pk(x),所以|qkj|<pkj,∀k=1,…,K,∀j=1,…,LM。故
≈
f(x-ask)dx<1
(13)
所以,
的Hessian矩阵是正定矩阵。
令
由定理1知H是正定矩阵,则优化问题(12)可以重新写成凸二次规划问题
s.t.qTy=1
Cy≤0
(14)
同样地,优化问题(14)的最优解记为
是
的离散形式。优化问题(14)在没有约束Cy≤0下的最优解记为
是
的离散形式。
该问题可以用凸优化算法快速求解,如内点法。
3.2 软限幅函数的自适应门限
由于计算
需要知道接收信号的幅度a以及SαS分布的参数a,α,γ。在实际中,α容易估计,a,γ很难估计,所以限制了凸优化方法的实际应用。考虑到均匀分布对应的2FN(x)-1的表达式为
(15)
而软限幅函数的表达式表示如下:
(16)
二者只是幅度相差了c倍,其中c是软限幅函数门限。在非线性处理的角度来看,二者完全等价。文献[2]提出的软限幅函数门限
由于需要同时估计参数(α,σ,a),很难实现。
本文从小信号近似出发,使得输出信噪比(8)最大化的最优的门限c*由下式获得
(17)
通过变量替换u=σw,t=x/σ,推导出yc(x)=σyc/σ(x/σ)和fα,σ(x)=fα,1(x/σ)/σ,从而有
(18)
其中ρ=c/σ,ρ*=ρ*(α)最大化式(18),等式ρ*=ρ*(α)表示ρ*仅依赖于α。
在小信号近似的假设下,信号的幅度远远小于噪声的幅度。在门限为c*的软限幅处理下,所有幅值绝对值大于c*被限幅,反之保留。对接收信号样本
的绝对值进行排序,门限c*所处的排序百分比为
=2
fα,σ(x)dx=2
fα,1(x)dx
φ(α)
(19)
其中pc*=φ(α)可以由数值积分计算(19)得到。曲线如图2所示。
图2 曲线φ(α)
Fig.2 The curve of φ(α)
从图2可以看出,曲线φ(α)近似为直线。对曲线φ(α)做线性回归,得到拟合曲线为
在实际应用场景中,我们收到K个样本后,对其绝对值按从小到大的排序进行,靠近位置
的数值设为软限幅函数的门限。尽管软限幅检测器的自适应门限是在小信号假设下得到的,第4节的仿真结果表明这种方法在高信噪比的条件下,依旧能够逼近最优的似然比检测性能。这种方法只需要估计出α值,然后通过排序的方法确定软限幅函数的门限,计算量很小,适用于对实时性要求高的场景。
4 仿真结果
以BPSK信号为例,信号幅度a=1,信号波形sk=cos(2πk/N),其中N=20,k=1,…,50, 对称SαS的参数
和分别在α=1.2和α=1.8下的最优处理函数如图3所示。从曲线上来看,具有较长的拖尾,而的幅度接近线性,缓慢上升到1后固定不变,更接近软限幅函数。所以,曲线的实现复杂度低于曲线
图3 α=1.2和α=1.8下的最优预处理函数
对比图
Fig.3 A comparison of preprocessing function in α=1.2 and α=1.8
接下来比较不同检测器下的误比特率(bit error ratio, BER)曲线。仿真假设信号参数已知。检测器包括:(a) 性能最优但实现复杂的最大似然检测器;(b) 本文采用凸优化方法计算的非线性处理函数; (c) 本文采用凸优化方法计算的非线性处理函数;(d) 文献[2]提出的软限幅函数门限; (e) 本文提出基于排序方法的自适应软限幅函数门限。 BER随着几何信噪比[2](geometric signal-to-noise ratio,GSNR)的关系曲线如图4所示。在下,所有检测器的性能都逼近最优的最大似然检测器。在下,检测器(c)逼近最大似然检测器,所以提出的非线性处理函数逼近最优的性能。检测器(e)逼近检测器(b),由于软限幅函数是函数的一个特例,所以提出的自适应软限幅函数门限逼近最优的门限。在实际应用场景中,上述5个检测器,仅检测器(e)需要估计参数,其他4个检测器都需要估计参数。所以本文提出的自适应软限幅函数门限复杂度最低,且性能近似最优,在现有的通信系统中易于实施,具有很好的应用场景。
图4 不同检测器下(α=1.2,1.8)BER性能对比曲线
Fig.4 Performance comparison of different detectors (α=1.2,1.8)
5 结论
本文提出基于量化阵列模型的非高斯信号的最优预处理函数的计算方法。首先建立了一般的泛函优化问题,并通过离散化方法将该问题建模成容易求解的凸二次规划问题。对比了基于量化阵列模型和一般非线性处理下的最优处理函数的区别。基于量化阵列的最优处理函数更接近于软限幅处理。本文的建模和分析方法有助于改进非高斯信号预处理方法的性能。
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