1 引言

认知无线电(Cognitive Radio, CR)[1]是一种高效频谱管理技术，频谱感知[2]是其关键技术之一。匹配滤波法、能量法[3]、循环平稳特征法和基于随机矩阵理论(Random Matrix Theory, RMT)的频谱感知算法[4 -5]等是常用窄带频谱感知算法。但这些算法各有千秋，前两种算法需已知主用户先验信息或噪声信息，后两种算法复杂度高，门限难以准确确定。近年来，基于功率谱的频谱感知算法[6-11]得到了广泛关注，它不需要特征值分解，计算复杂度低，且能准确得到算法判决门限。文献[7]利用功率谱最大最小值的比作为检测统计量，最小值直接取零频处的功率谱值，由于噪声影响，最小值的随机性降低了算法性能；对此，文献[8-10]采用功率谱分段对消的思想构造检测统计量，文献[11]分析了文献[10]算法检测统计量的随机变量之间存在相关性时的检测性能，指出文献[10]算法存在的不足之处，文献[11]利用功率谱中间一段的平均值代替最小值，提出了基于功率谱的平均比值算法(Power Spectral Ratio Averaging，PSRA)，PSRA算法性能优于文献[7-10] 算法。但实际接收系统中得到的基带信号往往存在载波频偏[12-13]，频偏将影响上述算法性能，针对此问题，本文提出一种利用功率谱最大最小平均比的算法(Power Spectral Maximum Minimum Averaging Ratio，PSMMAR)，将功率谱的最大值的平均值与最小值的平均值之比作为检测统计量，减小频偏和噪声不确定性对算法性能的影响。

2 PSMMAR算法

2.1 检测原理

CR中，次用户(Secondary User, SU)感知主用户(Primary User, PU)存在与否问题可表示成如下二元假设检验：

(1)

其中，y(n)表示SU接收到的基带信号，ν(n)为加性噪声，x(n)表示与噪声ν(n)相互独立的有用信号。无载波频偏时，x(n)=h(n)s(n)，s(n)和h(n)分别表示主用户发射信号和信道系数。ν(n)是独立同分布的复高斯随机过程，均值为0，方差为即与ν(n)相互独立，其值为常数或随机变量视接收信号所处的信道环境而定。假设其均值和方差分别为uh和当发射信号经过加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise, AWGN)信道时，h(n)的均值uh=1，方差当发射信号经过瑞利衰落信道时，h(n)是独立同分布的复高斯随机过程，均值uh为0，方差为即h(n)

由于x(n)和ν(n)相互独立，则式(1)的二元假设检验模型可用功率谱表示如下：

(2)

其中，Py(w)、Px(w)和Pν(w)分别表示y(n)、x(n)和ν(n)的功率谱。分别对接收信号y(n)、有用信号x(n)和噪声ν(n)进行傅里叶变换，可得：

(3a)

(3b)

(3c)

y=[y(0),y(1),...,y(N-1)]T,x=[x(0),x(1),...,x(N-1)]T和ν=[ν(0),ν(1),…,ν(N-1)]T分别表示y(n)、x(n)和ν(n)的N个采样样本的向量形式，w=[1,e-jw,…,e-j(N-1)w]H,(·)T,(·)H表示向量的转置和共轭转置。通过周期图法可得功率谱估计为：

(4a)

(4b)

(4c)

其中，和分别为自相关矩阵Ry=E{yyH}、Rx=E{xxH}和Rν=E{vvH}的瞬时估计。下文中为了表述简单起见，用Py(w)、Px(w)和Pν(w)分别直接表示和

令自相关矩阵的N个特征值按从大到小顺序排列为：λ1≥λ2≥…≥λN。若功率谱Py(w)是w的连续函数，则根据Rayleigh熵定义[6]，如果

(5)

则有Q(w)|max=λ1，Q(w)|min=λN。又因为wHw=N，则可得：

λN≤Py(w)≤λ1

(6)

在H0假设下，λ1=λ2=…=λN，所以Py(w)|max=Py(w)|min；在H1假设下，λ1≥λ2≥…≥λN，则Py(w)|max=λ1>Py(w)|min=λN。根据功率谱在H0和H1假设下的差异，可得频谱感知的判决统计量T为：

(7)

则二元假设检验可表示为：

(8)

2.2 检测方法与检测门限

实际应用中，为了降低噪声对功率谱估计的影响，应对功率谱进行平滑处理。将接收信号y(n)的N个样本分成连续的L帧，每帧长度为M点，即N=L×M，记第i帧信号为：

yi(n)(i=0,1,…,L-1,n=0,1,…,M-1)

(9)

则平滑处理后的信号y(n)的离散功率谱估计为：

(10)

其中，Pi(k)和Yi(k)是yi(n)的功率谱Pi(w)和傅里叶变换Yi(w)在的表示，Py(k)是Py(w)在的表示。

理想的基带信号y(n)不存在载波频偏，其中心频率在零频率处，其功率谱函数的最大值在零频率附近，最小值在附近。当存在载波频偏时，基带接收信号用r(n)表示为r(n)=ej(2πΔfn)·x(n)。接收信号r(n)的傅里叶变换为R(w)=X(w-2πΔf)，其功率谱为

由此可知，当存在载波频偏时，r(n)的功率谱的最大值偏离了零频率。因此由Py(0)作为Py(w)最大值构成的检测统计量进行判决，将降低检测性能。又由于载波频偏未知和噪声影响，信号功率谱的最大值和最小值很难根据单个频点来准确估计。因此，利用接收信号零频率附近一段功率谱的平均值来估计功率谱的最大值，可以有效降低载波频偏对频谱感知性能的影响。同时，利用功率谱中段附近一段的平均值来估计功率谱的最小值，降低噪声对频谱感知性能的影响。因此本文利用式(11)和(12)分别估计功率谱最大值和最小值：

(11)

(12)

其中，K0表示估计功率谱最大值时所选取的功率谱长度；K1表示估计功率谱最小值时所选取的长度，K2表示功率谱的中点。频谱感知的判决统计量T修改为：

(13)

在假设H0下，在假设H1下，则式(8)的二元假设检验仍成立。实际情况中，在H0假设下，T不可能等于1。因此设在一定虚警概率Pf下的检测门限为γ，则频谱感知的检测规则为：

(14)

下面推导门限γ的计算。将Yi(k)表示成如式(15)所示形式：

(15)

可推导得到和服从如下概率分布：

(16)

(17)

其中，Si(k) (k=0,1,…,M-1)是主用户发射信号的第i帧信号si(n)的M点离散傅里叶变换，其实部和虚部分别为和和分别表示信道系数均值uh的实部和虚部；Gi(k)的表达式则由下式给出：

(18)

式(18)中，p表示过采样倍数。由于所以在H0假设下，Pi(k)是自由度为2的中心卡方分布；在H1假设下，Pi(k)是自由度为2的非中心卡方分布，非中心参数为的非中心卡方分布[14]。假设每帧信号si(n)的离散傅里叶变换Si(k)和Gi(k)基本相同，分别为S(k)和G(k)，则根据卡方分布定理[13]可得，在假设H0和H1情况下，Pi(k)的均值和方差分别为：

(19)

(20)

(21)

(22)

由于不同帧数据在相同频点上的Pi(k)相互独立，根据中心极限定理可得，当L足够大时，由式(10)可得，Py(k)近似服从如下所示高斯分布：

(23)

其中，在H0假设下，可得且是相互独立的。为了方便起见，下文推导中用变量X和Y分别表示和和uY,H0分别表示X和Y在H0假设下的均值，σX,H0和σY,H0表示X和Y在H0假设下的均方误差，则有根据检测统计量T可得虚警概率Pf表达式为：

(24)

其中，erf(·)为误差函数。给定虚警概率Pf，则可得检测门限为:

(25)

其中，c表示常数[erf-1(2Pf-1)]2。从式(25)中可以看出，检测门限γ与噪声ν(n)的方差无关，因此理论上本文算法对噪声不确定性是鲁棒的。

2.3 算法流程

综上可得本文提出的利用功率谱最大最小平均比的频谱感知算法(PSMMAR)如下：

(1)根据式(25)计算门限值γ。

(2)利用式(9)和式(10)估计接收信号y(n)的功率谱密度Py(k)。

(3)由式(11)和式(12)估计功率谱密度的和

(4)根据式(13)计算检测统计量T。

(5)将T与γ比较，若T大于γ，则判定为H1成立；否则，判定为H0。

2.4 算法复杂度分析

本节分析PSMMAR算法、PSC算法和PSRA算法的复杂度并进行比较。

三种算法计算功率谱密度方法相同，区别在于检测统计量计算，而后者计算复杂度远小于前者，所以算法复杂度由前者决定。对接收信号y(n)的连续L帧、每帧长度为M点信号yi(n)进行M点离散傅里叶变换的复杂度为O(Mlog2M)，因此，三种算法的复杂度都为O(Nlog2M)。

3 算法仿真与性能分析

本节仿真分析本文算法、文献[11]PSRA算法、文献[9]PSC算法的频谱感知性能。仿真中采用QPSK作为主用户调制信号，码元数为500，过采样倍数即每个码元的采样点数

(1)门限值的确定。令取M=16，K0=2，K1=3时，虚警概率Pf分别为0.01和0.001时，计算得到两个检测门限γ1和γ2以及10000次Monte Carlo模拟仿真得到的虚警概率Pf如表1所示。

由表1可知，由判决门限γ1得到的虚警概率与理论虚警概率一致，由判决门限γ2得到的虚警概率远高于理论虚警概率，所以γ1是正确的门限。下文中，每条曲线均是2000次的Monte Carlo模拟仿真结果的平均。

(2)K1对三种算法性能的影响。Pf=0.01，码元数为500，帧长M=48，Δf分别为0.04、0.05和0.06，K0=2，K1为4、6和8时，本文算法、PSRA算法和PSC算法在AWGN信道中的算法性能曲线分别如图1(a)、(b)和(c)所示。由图可见：1)随着Δf的增大，K1在一定范围内取值越大，算法性能越好；当K1值增大到一定值时，算法性能曲线趋于平稳。这是因为在K0确定后，K1越大，参与功率谱最小值平滑的样本就增加，从而功率谱最小值估计更加准确；当样本足够多时，功率谱最小值平滑结果基本不变，因此算法性能曲线就不再受K1值影响。2)在不同载波频偏系数下，本文算法性能受频偏的影响较小，其他两种算法性能受频偏的影响较大，即本文算法对频偏鲁棒性强。

(3)K0对本文算法性能的影响。Pf=0.01，码元数为500，帧长M=16，载波频偏系数Δf分别为0.04、0.06和0.08，K1=3，K0为1、2、3、4和5时，本文算法在AWGN信道中的检测概率随信噪比变化曲线如图2(a)、(b)和(c)所示。

由图可见，随着Δf的增大，检测性能最优对应的K0值相对增大。由于Δf是随机且较小，因此K0取2至3。下面以Δf为0.06、K0取最佳值2，仿真分析其他参数影响及算法性能比较。

(4)不同帧长时算法性能比较。当频偏系数为Δf=0.06，Pf=0.01，码元数为500，帧长分别为M=16(K0=2，K1=3)和M=48(K0=2，K1=6)时，本文算法、PSRA算法和PSC算法在AWGN信道中的检测概率曲线如图3所示。其中实线和虚线分别表示M=16和M=48情况。由图可见，不同帧长情况下，本文算法检测概率大于PSC算法和PSRA算法。帧长太长用于功率谱估计帧数偏少，功率谱估计准确性下降，频谱感知性能就下降。下文取M=16。

(5)不同码元数时算法性能比较。频偏系数为Δf=0.06，Pf=0.01，码元数为250和500, 帧长M=16(K0=2，K1=3)时，本文算法、PSRA算法和PSC算法在AWGN信道的检测概率曲线如图4所示。

其中实线和虚线分别表示码元数为500和250的情况。由图可见，在不同码元情况下，本文算法检测概率大于PSC算法和PSRA算法，码元数越多算法性能越好。下文取码元数为500。

(6)算法抗噪声不确定性性能。当噪声不确定度ρ>1时，噪声方差在区间内均匀分布；不存在噪声不确定性时，噪声方差为定值，此时ρ=1.0。频偏系数为Δf=0.06，Pf=0.01，码元数为500，帧长M=16(K0=2，K1=3), 噪声不确定度ρ=1.0和1.1时，本文算法、PSRA算法和PSC算法在AWGN信道和Rayleigh衰落信道中的检测性能曲线如图5(a)和(b)所示。实线和虚线分别表示ρ=1.0和1.1的情况。由图可见，在两种噪声不确定性情况下，本文算法性能都要优于PSC算法和PSRA算法，三种算法都具有良好的抗噪声不确定性能力。在信噪比较小时，瑞利衰落信道中三种算法的检测概率要大于其在AWGN信道中的检测概率，因为此时，瑞利衰落信道的起伏增大了信号能量，从而提高了信噪比。

(7)算法的ROC(Receiver Operating Characteristics)曲线。频偏系数为Δf=0.06，码元数为500，帧长M=16(K0=2，K1=3)，信噪比为-13 dB时，三种算法在AWGN信道和Rayleigh衰落信道中的ROC曲线如图6(a)和(b)所示。实线和虚线分别表示ρ=1.0和1.1的情况。

由图可见，两种信道中，本文算法对噪声不确定度的鲁棒性优于PSC算法和PSRA算法，具有更优的抗噪声不确定性能力。

4 结论

提出了一种基于功率谱的最大最小平均比值算法，推导了算法的检测门限表达式，该算法不受噪声不确定度的影响，当存在载波频偏时，本文算法的频谱感知性能要优于PSC算法和PSRA算法。

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