1 引言

长码直扩CDMA(long-code direct sequence code division multiple access，LC-DS-CDMA)信号在一个扩频周期内有多个信息符号，具有很强的保密性，因此在军事和民用通信系统广泛运用[1-3]。由于长码周期过长，通常在接收端很难截获包含一个完整扩频码周期的信号，因此扩频码盲估计更加困难。

针对周期LC-DS-CDMA扩频码盲估计，文献[4]将LC-DS-CDMA信号等效为含有缺失数据的短码直扩信号，再利用嵌套迭代最小二乘投影算法估计扩频序列；文献[5]利用m序列的三阶相关函数(triple correlation function，TCF)峰值点不同的特点构造TCF的特征信息矩阵，然后将LC-DS-CDMA信号TCF值与特征信息矩阵匹配，估计各用户扩频码；文献[6]和文献[7]对LC-DS-CDMA信号分段，再利用FastICA算法估计扩频码片段，将扩频码片段拼接得到扩频码。上述LC-DS-CDMA信号的扩频码盲估计方法都只针对周期信号，截获的接收信号需要包含完整的扩频码周期。针对非周期(non-periodic，NP)扩频码盲估计，文献[8]利用不同周期m序列三阶相关函数存在共同峰的特点，计算NPLC-DS-DSSS信号TCF值，筛选共同峰得到扩频码本原多项式；文献[9]在此基础上采用拟合优度检验对共同峰进行筛选，提高了估计正确率。文献[8]和文献[9]针对的是单用户长码直扩信号。对于非周期LC-DS-CDMA信号，由于信号结构更加复杂，且接收信号没有包含一个完整周期扩频码，所以扩频码的盲估计难度很大，关于此类信号的研究成果还未见公开报道。

本文针对多天线NPLC-DS-CDMA信号，将接收信号矩阵进行奇异值分解，对左奇异向量张成的信号子空间利用FastICA算法进行盲源分离[10]，得到各个用户的扩频信号；对扩频信号利用延迟相乘法消除信息码影响，然后计算三阶相关函数[11]，通过比较TCF估计值与理论值的距离筛选估计的TCF峰值点，最后利用矩阵斜消法得到扩频码本原多项式。

2 信号模型

第k个天线的接收信号基带模型可表示为

l=1,2,…,L

(1)

式中，R为用户个数，akr表示第k个天线对第r个用户的接收信号增益；sr(l)为第r个用户信息码经过扩频码调制形成的扩频信号，sr(l)=br(l)cr(l)，其中，br(l)为信息码序列，cr(l)为扩频码序列；νk(l)为加性高斯白噪声，均值为零，方差为表示有用信号，为接收信号长度，已知在NPLC-DS-CDMA信号中，LNr)，Nr为第r个用户扩频码周期，Nr可通过文献[12]方法估计得到。扩频码采用m序列，第r个用户扩频增益为Gr。

式(1)可表示为矩阵形式

yk=Sak+vk

(2)

其中，ak为第k个天线的接收增益，ak=[ak1ak2…akr]T，S为扩频信号矩阵，S=[s1s2…sR]，S是一个L×R的矩阵。则K个天线接收信号矩阵为

Y=SA+V

(3)

式中，Y为接收信号矩阵；A为接收增益矩阵。

3 算法

3.1 基于FastICA算法的扩频信号盲估计

对式(3)中接收信号Y进行奇异值分解得到最大的R个奇异值对应的左奇异特征向量U，特征向量U的列向量张成的子空间与扩频信号矩阵S的列向量张成的子空间属于同一个子空间，假设它们之间存在的线性变换为T，则：

U=TS

(4)

式(4)是一个典型的盲源分离模型，估计扩频信号矩阵S就相当于从特征向量U中分离源信号，利用FastICA算法可以完成扩频信号矩阵的估计。

首先对U进行白化预处理，从而简化独立分量提取过程，提高算法收敛性。如式(5)所示，白化矩阵为B0，白化后得到白化向量为Z。

Z=B0U

(5)

利用主分量分析，得到白化矩阵为

(6)

其中Λ和Us分别代表信号U的协方差矩阵的特征值矩阵和特征向量矩阵。得到白化向量Z后，估计分离矩阵W的FastICA算法的迭代如下：

wt=wt/‖wt‖

(7)

式中，t为迭代次数，g(x)为非线性函数，由于本文源信号为亚高斯信号，因此选用g(x)=x3。迭代收敛后得到分离矩阵的一个独立分量，式(7)重复迭代R次，组成分离矩阵W。由此可得到扩频信号矩阵为：

(8)

其中，每个列向量代表一个用户的扩频信号，包含扩频码和信息码，从可以估计得到用户扩频码。

3.2 扩频码TCF估计值

理论上，m序列cr(l)的TCF为：

Cr(p,q)=E{cr(l)cr(l+p)cr(l+p)}

(9)

完整周期的cr(l)的TCF值为：

(10)

由式(10)可知，Cr(p,q)=1时表示此时(p,q)为扩频码的峰值点。由于接收信号长度小于扩频码周期，根据3.1节分离得到的扩频信号包含信息码和部分扩频码序列。为了消除未知信息码的影响，根据m序列移位相加特性，将sr(l)延迟一个码片后与原信号相乘，得到

(11)

其中，τ是扩频码的相对偏移量。根据m序列性质可知TCF值不受m序列位移影响，故无需求解是m序列cr(l)延迟τ的序列，二者本原多项式相同。

在L×L范围内的TCF估计如下

(12)

3.3 扩频码TCF峰值点检测

根据式(12)可以得到扩频码cr(l)的TCF值。TCF值表示成矩阵形式如下：

理论上，m序列的TCF峰值点和非峰值点可以清楚区分，但是由于噪声干扰、接收长度受限和延迟相乘带来的误差，估计得到的TCF与理论值存在较大偏差，如果仅通过设置门限值提取峰值点，容易产生漏检和错检，而且计算量较大，因此本文根据m序列性质，对TCF峰值点进行筛选，以获得更准确的峰值点。

根据TCF峰值点性质，当p=q时，不存在峰值点，将矩阵中p=q上元素置零。搜索矩阵中每行最大值。

(13)

则(p,pq)是经过初步筛选得到的坐标点。由于噪声干扰等影响一行可能存在几个相等的最大值，因此得到的坐标点可能不止L个。假设筛选得到的坐标点有I个，将其坐标记为

通过粗筛选得到I个坐标点后，需要对这些坐标点进行更精确的筛选。由m序列的性质[13]可知，若m序列在(p,q)处存在峰值点，则(2ip mod Nr,2iq mod Nr),i=0,1,2,3,…处也存在峰值点。

假设通过粗筛选得到的坐标点(pi,qi)在L×L范围内有J个共轭系坐标点，记为令记为TCF值序列若(pi,qi)为真实峰值点，则TCF值序列趋近于峰值点理论值1。因此可以利用TCF值序列与峰值点理论值之间的距离检测(pi,qi)是否为峰值点。定义估计值与理论值之间的距离为

(14)

当(pi,qi)为TCF峰值点时，序列趋近于理论值，Ti很小；反之，与理论值相差较大，Ti很大。由于误差的存在，不等于理论值，假设存在一个阈值δ，当Ti<δ时，(pi,qi)判断为峰值点。

根据m序列的三阶相关性质可知，不同m序列具有不同分布的TCF峰值点，利用矩阵斜消法从两个TCF峰值点多项式得到m序列的本原多项式[14]，即为扩频码本原多项式。

综上所述，本文提出的多天线辅助NPLC-DS-CDMA信号的扩频码本原多项式盲估计算法主要步骤如下：

(1)将多天线NPLC-DS-CDMA信号按式(2)和式(3)构建成矩阵信号Y；

(2)对Y进行奇异值分解，得到左奇异特征向量U;

(3)根据式(5)至式(8)从U中分离出扩频信号矩阵

(4)根据式(11)对扩频信号矩阵中的每个列向量延迟相乘去除信息码，然后根据式(12)估计三阶相关函数；

(4)根据式(13)和式(14)对三阶相关值进行筛选求出峰值点，利用矩阵斜消法估计扩频码本原多项式。

4 算法仿真与性能分析

仿真实验中，信噪比定义为和分别表示有用信号xk(l)和噪声νk(l)的方差；akr∈(0,1)随机产生；扩频码的[0,1]映射为[+1,-1]；扩频增益G=100；由于理论值与估计值的距离Ti∈[0,1]，因此阈值取平均值δ=0.5；仿真中使用的扩频码如表1所示。将100次Monte-Carlo仿真中R个用户扩频码本原多项式估计正确率作为算法性能评价指标。

①算法性能与天线个数的关系。用户个数R=3，3个用户依次使用表1中11阶m序列作为扩频码，接收信号长度为L=1000，天线个数分别为K=10、K=15和K=20时，本文算法的正确率曲线如图1所示。

从图1可知，天线个数越多，扩频码本原多项式估计正确率越高，算法性能越好。由于每个天线接收的信号承载着相同的扩频码信息，天线个数越多，获得的扩频码信息越多，FastICA方法从中分离出的扩频信号误差减少，因此扩频码本原多项式估计正确率提高。

②算法性能与信号长度的关系。天线个数K=10，用户个数R=3，3个用户依次使用表1中11阶m序列作为扩频码，接收信号长度分别为L=500、L=1000和L=1500时，本文算法的正确率曲线如图2所示。

从图2可知，接收信号越长，扩频码本原多项式估计正确率越高。因为接收信号越长，估计得到的延迟后扩频码片段越长，计算的TCF值越接近于完整周期扩频码的TCF值，更容易筛选得到正确的TCF峰值点，因此扩频码本原多项式估计正确率更高。

③算法性能与用户个数的关系。天线个数K=10，接收信号长度为L=1000，依次使用表1中11阶m序列作为扩频码，用户个数为R=2、R=3和R=4时，本文算法的正确率曲线如图3所示。

由图3可知，用户个数增多，本文算法估计性能下降。因为用户个数增多，用户之间的干扰增大， FastICA算法分离的扩频码误差增加，从而使本文算法的估计正确率下降。

④算法性能与扩频码周期长度的关系。天线个数K=10，接收信号长度为L=1000，用户个数R=3，信号1的3个用户分别使用表1 中10阶、11阶和12阶m序列的用户1的本原多项式产生周期为N1=1023、N2=2047和N3=4095的扩频码，信号2中3个用户依次使用表1中11阶m序列作为扩频码即N1=N2=N3=2047。信号1和信号2的R个用户扩频码本原多项式估计正确率如图4(a)所示；信号1中每个用户扩频码本原多项式估计正确率如图4(b)所示。

由图4可知，本文算法适用于各个用户扩频码周期长度不同的情况；当接收信号长度一定时，扩频码周期越小，本原多项式估计正确率越高。因为扩频码周期越小，接收信号中包含的该扩频码的信息越完整，TCF峰值点估计越准确，扩频码本原多项式估计正确率越高。

⑤与文献[5]和文献[9]算法对比。目前无公开报道关于NPLC-DS-CDMA信号扩频码盲估计算法，文献[5]针对周期LC-DS-CDMA信号，文献[9]针对单用户NPLSC-DSSS信号，同样适用于单用户NPLC-DSSS信号，为了更好地验证本文算法性能，比较本文算法与文献[5]、文献[9]算法对NPLC-DS-CDMA信号扩频码估计性能。用户个数R=3，3个用户依次使用表1中11阶m序列扩频码即N1=N2=N3=N=2047，接收信号长度分别为L=N/2，天线个数K=10，对每个天线接收到的信号应用文献[5]以及文献[9]算法估计扩频码本原多项式，统计从所有天线接收信号中估计得到的扩频码本原多项式，选取出现次数最多的R个本原多项式作为文献[5]及文献[9]算法估计所得的扩频码本原多项式。本文算法和文献[5]、文献[9]算法的R个用户扩频码估计正确率如图5所示。

由图5可知，对于NPLC-DS-CDMA信号扩频码盲估计，本文算法性能优于文献[5]和文献[9]算法。文献[5]算法适用于周期CDMA信号，文献[9]算法适用于单用户非周期直扩信号，二者对NPLC-DS-CDMA信号估计性能严重恶化，本文算法能够实现NPLC-DS-CDMA信号的扩频码盲估计，且随着信噪比增加，估计正确率增大。

5 结论

本文针对NPLC-DS-CDMA信号的扩频码盲估计，利用多天线辅助、奇异值分解和FastICA算法从接收信号矩阵中估计得到扩频信号，利用延迟相乘法去除扩频信号中的未知信息码，再估计三阶相关函数的峰值点，最后利用峰值点估计得到扩频码本原多项式。

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